- Gợi ý đáp án môn toán (kỳ thi tuyển sinh thi vào lớp 10 THPT công lập Hà Nội năm 2022-2023) do Tổ toán - Hệ thống Giáo dục HOCMAI thực hiện.
Bài 1.
1) Thay 
(TM) vào 
ta có:
.
Vậy với 
thì 
.
2) Ta có:
(ĐPCM)
Vậy 
.
3) Ta có:
Vì 
với mọi 
nên suy ra 
.
Suy ra: 
.
Vì 
là số nguyên dương lớn nhất nên 
(TMĐK).
Vậy với 
thì 
.
Bài 2.
1) Gọi vận tốc của xe máy là 
.
Khi đó vận tốc của ô tô là 
.
Thời gian xe máy đi hết quãng đường 
là 
.
Thời gian ô tô đi hết quãng đường 
là 
.
Do ô tô đến 
sớm hơn 30 phút 
giờ so với xe máy nên ta có phương trình:
(1)
(1) là phương trình bậc hai có 
nên (1) có 2 nghiệm phân biệt là 
Vậy vận tốc của xe máy là 
còn vận tốc của ô tô là 
.
2) Diện tích bề mặt của quả bóng là: 
.
Bài 3.
1) 
ĐK: 
. Đặt 
ta được hệ phương trình:
Với 
ta có: 
(TMĐK).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
.
2)
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của 
và 
:
Phương trình (1) có 
với mọi 
. Suy ra (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi .
Vậy 
luôn cắt 
tại 2 điểm phân biệt với mọi 
.
b) 
cắt 
tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
suy ra 
là nghiệm của phương trình:
.
Theo định lí Vi – ét ta có:
Xét biểu thức:
Vậy 
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 4.
và 
lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến 
Xét tứ giác 
ta có: 
, mà hai góc này nằm ở vị trí đối nhau
Tứ giác 
nội tiếp
b) Xét tam giác 
có 
(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Xét tam giác 
có: 
(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) 
(đpcm)
Tam giác 
vuông cân tại
, 
Tam giác 
cân tại 
Mà 
(góc nội tiếp cùng chắn cung 
)
(góc nội tiếp cùng chắn cung 
)
hay 
là tia phân giác góc 
c) Xét tứ giác 
là hình vuông 
Xét tam giác 
có 
(Hệ quả của định lý Ta – let)
Mà 
Xét tam giác 
và tam giác 
có: 
Từ (1) và (2) 
là tia phân giác 
Mà 
tia là phân giác 
(cmt) 
thẳng hàng.
Bài 5.
Do 
và 
nên 
. Thay vào 
ta được 
.
Xét
(do 
và 
)
.
Dấu bằng xảy ra khi 
(do 
).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
khi 
.
